作者｜ 曹亮吉
来源｜ 选自《涨本事的数学密码书》之《藏在旅行中的数学》分册，好玩的数学数学获授权转载。
阿拉伯数字、东西大不同？
第一次到印度及尼泊尔地区旅行，我就注意到他们的汽车车牌，有的用我们熟悉的阿拉伯数字，有的则用另一种数字；我猜应该是梵文数字，它是阿拉伯数字的前身。幸好有的车挂两个车牌，一左一右，一是阿拉伯数字，一是梵文数字。经过几次的做笔记，几次的核对，不久我就有了两种数字的对照，如下表中一、三两行所示：
回家后查了资料，大致了解了阿拉伯数字的历史。印度在公元前三世纪的阿育王时代，就有了 1 至 9 的婆罗门数字（表中的第四行），后来逐渐演变成梵文数字。不过依据现有文献，代表零的符号，要迟至九世纪才出现在瓜廖尔（Gwalior）地方小庙的墙上。瓜廖尔位于以泰姬陵出名的阿格拉（Agra）正南方约100km 的地方。一般旅客会到那里，是去看雄伟的瓜廖尔城堡，及堡内富丽堂皇的庙宇与宫殿。大概很少人会去注意那个小庙及那个小小的 0。公元七世纪阿拉伯人兴起，到九世纪时，吸收了印度（梵文）数字，逐渐发展成东阿拉伯数字（前面表中第二行）及西阿拉伯数字两种写法。西阿拉伯数字再传到欧洲，就是现在所说的阿拉伯数字。东阿拉伯数字现在仍然流行于埃及、叙利亚、阿拉伯、波斯等地区，你可在这些地区的机场看到东、西阿拉伯数字的并列使用，来验证东阿拉伯数字的写法。（伊朗的儿童电影《天堂的孩子》中，参加马拉松赛跑的小朋友，胸前的号码布条上所写的就是东阿拉伯数字。）从婆罗门数字到阿拉伯数字，我们可以观察其演变。有些演变有迹可循，譬如 1、2、3；有些像 5 的变化，就看不出所以然。阿拉伯数字还会演变吗？我猜不会，因为现在计算机通行全世界，这些数字写法已经标准化了；我相信手写的变体 4 及 7 逐渐会消失。不过从表中，我们看出最特别的是婆罗门数字没有0，梵文数字才有 0，这是阿拉伯数字能够征服世界的秘密所在。想想看，没有 0 会怎么样？102 要写成为 12，120 的写法也一样，两者连同 12 就分辨不出来。也许 102 该写成为 12，1 与 2 之间空一格；而 120 该写成 12，后面空一格，传统的筹算记法就是如此（∣ ∣∣ 或 ∣＝）。不过空几格不容易写清楚、看清楚，于是中文就有了位名：一百二（102）或一百二十（120）。没有 0，就要生出十、百等位名，才能解决问题。计算时，幸而有位置定值的筹算或算盘，才不会受到位名的干扰。欧洲人原来用的记数系统也都需要位名的帮忙（计算时则用类似于算盘的算板）。有了阿拉伯数字，用十个符号就能写下任何的数目，而且可以直接用来计算。
有人说 0 是数学中最伟大的发明，它原本代表没有，但它在位值表法的系统中，往往无中生有，确切表示出数目来。阿拉伯数字通行全世界，让我们出门在外买东西杀价，不怕弄不清楚：用阿拉伯数字笔谈可也。野兽的房间旅行团来到非洲津巴布韦维多利亚市，准备观赏维多利亚瀑布及邻国博茨瓦纳的丘比（Chobe）国家公园。在象丘饭店（Elephant Hills Hotel）里，领队依例让团员自选房间钥匙，有对夫妇很高兴抢到了 666 号房间的钥匙──六六大顺，六六六大大顺了！到 了 六 楼， 从 电 梯 旁 的 房 间 开 始，660、661……665，再隔壁一间，奇怪了，居然是 665A，再隔壁一间是 667。666 在哪里啊？回头找柜台，柜台说 665A 就是666，但说不出为什么。《圣经·启示录》13:18 节说 666 是“野兽数”，聪明的人可算出谁有“野兽数”，就知道谁是那头害人的野兽。我知道在基督教的世界里，666 成了邪恶的数目，但房间号码避开不用，倒是开了眼界。古代的希腊借用字母来表数目：第一个到第九个字母依序表 1 到 9；第十到第十八字母依序表 10、20 到90；第十九到第二十七字母依序表 100、200 到 900。在这个系统中，至多用三个字母就可以表 1 到 999 的任一个数目。如果要表 1000，则在表 1 之字母 a 的前面加一逗点成“, α”，以此类推。希腊原有 24 个字母，再借用三个外来的字母 ς、 Ϙ、ϡ。字母、发音及相应数目如表所示：（希腊字母无法正常显示）
拉丁的字母就是从希腊字母演变来的，所以英文取希腊头两个字母，而称字母为 alphabet。西方数学源自希腊，所以常用希腊字母作为数学符号。“阿门”（Amen）的希腊文为 αμην，这 4 个字母各表 1、40、8、50，相加得 99，所以希腊祈祷文的最后会写上代表 99 的两个字母 ϙθ。把一个人名字的字母，改成相应的数目再加起来，就是这个人的“数目”。占卜者可用每个人的“数目”来预卜其前途。这种想法还传到其他地方，成了西方的一种“术数”。譬如两个人决斗，可先算这两个人的“数目”，譬如各得 503 及 718，然后算其 9 余数，各为 8 及 7，那么 9余数大者决斗会赢。一个人的“数目”如果是“野兽数”666，他就是野兽了。那么《圣经·启示录》13:18 节所指的野兽是谁呢？当然，一再尝试，可让很多人现形，其中最有名的是罗马皇帝尼禄。这是犹太人把尼禄皇帝（Caesar Nero）用希伯来字母写出来后，依据字母换数目，再相加所得的结果。用拉丁文、希腊文，尼禄不是野兽，但杀害犹太人的尼禄，用了希伯来文就算出了真面目。数本来是用来数东西的多少，或表示量的多寡，但东西文化都一样，会把数神秘化，而衍生了种种的“术数”。
到维多利亚瀑布，可顺道过边界，到博茨瓦纳的丘比国家公园，近距离看象群。
解读罗马数字
有些大建筑在其墙面上会留下建造的年代。在欧美通常用公元年代，有的用阿拉伯数字，有的用罗马数字来表示。所以看得懂罗马数字，在欧美旅行会增加一些乐趣。
不出国，偶尔能看到罗马数字的地方，是有些大钟的钟面上。我们就从这种钟面上的 1 至 12，I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、IX、X、XI、XII，来开始认识罗马数字。
1 是 I，2 是两个 I：II，3 是三个 I：III。4 照理说应该是四个 I，但却写成 IV，它的意义从 5（V）与 6（VI）就可看得出来：显然 5 用了一个新的字母 V 来代表，6（VI）当然就是 5+1 了。那么 4（IV）就可以解释成 5-1。相对于 I 摆在 V 的右边表 5+1（加法原理），I 摆在 V 的左边就是 5-1（减法原理），如此一来 VII 表 7，VIII 表8 就很自然，而认定新出现的字母 X 表 10，则 IX 表 9，XI 表 11，XII 表 12 也就理所当然。
罗 马 数 字 以 L 表 50，C 表 100，D 表 500，M 表1000，加上已经知道的 I 表 1，V 表 5，X 表 10，再用上述的加法原理及减法原理，则用这些字母就可表示 4000以下的数目了。
那么 4000 怎么表示？引用前面的原理，就先要有一个字母表 5000。但罗马人没用一个字母表 5000，而是用MMMMM 来表示；当然 4000 就用 MMMM 表示了。简单说，有多少个千，就用多少个 M 来表示。大概罗马人很少用到 5000 以上的大数目吧！
建筑上有 MCMLX，表示它是 1960 年建造的。可不可以把 MC 看成 1100，加上 MLX（1060），就是 2160 ？不可以，因为 C 在第二个 M 的左边，而 C 比 M 小，所以就表示 M-C，就是 900。
用希腊字母表数目，字母的顺序是无关紧要的，代价是要用较多的字母。用罗马字母表数目，所用的字母较少，但顺序就得注意点。用阿拉伯数字，顺序变成绝对重要，因此用十个数字符号，就可表任何数目。这十个数字中，0 最重要了。古希腊或罗马都没有代表 0 的数 字 符 号，60 就 用 LX 表 示，601 就 用 DCI 表 示。古代 的 中 国 也 没 有 0，60 就 用“六 十” 表 示，601 就 用“六百一”表示；“六百一”不是 610，“六百（一）十”才是 610。
罗马数字与阿拉伯数字不同，不是位置定值的，因此数目之间的四则运算就无法有效进行。譬如两数相乘，你如果将乘数与被乘数的数字字母成对相乘，其后并不能把各乘积就相加，因为表一个数时，字母之间有时用的是减法。
罗马人虽然用字母的组合表数目，但做四则运算时，则用算板。算板上画着几条平行的直线，就像五线谱那样：第一线是表 1 的位置，第一间是表 5 的位置，第二线是 10，第二间是 50，以此类推。将 4 颗石头摆在第一线上就代表 4；第一间放着 1 颗石头就代表 5，若再加进第 2 颗石头，5×2 得 10，可把这两颗石头拿掉，代之以1 颗石头放在第二线上。
古老的大钟面常用罗马数字。此为瑞士伯尔尼市区内的牢狱塔。
算板上的摆法与算法，其实和算盘很类似。两者数目的表法其实是阿拉伯式的位置定值法（只是多了 5、50等辅助值），而不是罗马式的。位置定值法所需表空位的0，算板（或算盘）只在相应的位置不摆石头就好了。
罗马人的记数法和算术的计算无关，而阿拉伯的记与算则是合二为一的。西方人一开始没有马上接受阿拉伯数字，不过到底记与算合一是非常方便的，所以阿拉伯数字终于征服了西方人，乃至全世界的人。
阿拉伯数字是排列式的，罗马数字是半组合、半排列的，希腊数字是组合式的，于是，排列征服了组合。
不过罗马数字还是挣扎着留在建筑的墙面上、大钟的钟面上，因为人有怀旧的心理，就像家里挂着甲骨文的字帖那样。
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